1545.找出第N个二进制字符串中的第K位

目标

给你两个正整数 n 和 k，二进制字符串 Sn 的形成规则如下：

• S1 = "0"
• 当 i > 1 时，Si = Si-1 + "1" + reverse(invert(Si-1))

其中 + 表示串联操作，reverse(x) 返回反转 x 后得到的字符串，而 invert(x) 则会翻转 x 中的每一位（0 变为 1，而 1 变为 0）。

例如，符合上述描述的序列的前 4 个字符串依次是：

• S1 = "0"
• S2 = "011"
• S3 = "0111001"
• S4 = "011100110110001"

请你返回 Sn 的 第 k 位字符 ，题目数据保证 k 一定在 Sn 长度范围以内。

示例 1：

输入：n = 3, k = 1
输出："0"
解释：S3 为 "0111001"，其第 1 位为 "0" 。

示例 2：

输入：n = 4, k = 11
输出："1"
解释：S4 为 "011100110110001"，其第 11 位为 "1" 。

示例 3：

输入：n = 1, k = 1
输出："0"

示例 4：

输入：n = 2, k = 3
输出："1"

说明：

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= 2^n - 1

思路

长度为 n 的二进制字符串的递推公式为 S_1 = 0, S_i = S_(i-1) + "1" + reverse(invert(S_(i-1)))，返回 S_n 的 第 k 位 字符，k 从 1 开始。

简单的做法是根据题意模拟，改写一下递推公式的下标，从 i = 0 开始，已知递推公式 s[0] = '0', s[i] = s[i - 1] + '1' + invertAndReverse(s[i - 1])，求 s[n - 1].charAt(k - 1)。

一个更优的做法是递归。s[i] 的长度 len[i] = 2 * len[i - 1] + 1 => len[i] + 1 = 2 (len[i - 1] + 1)，len[i] + 1 是一个首项为 2，公比为 2 的等比数列，第 i 项长度为 2^i - 1。可以将它划分成三部分，注意这里下标从 1 开始：

• 1 ~ 2^(i - 1) - 1 即 s[i - 1]，如果 k 在左半边，问题变为 s[i - 1] 的第 k 个字符
• 2^(i - 1) 值是 1，直接返回
• 2^(i - 1) + 1 ~ 2^i - 1 即 invertAndReverse(s[i - 1])，如果 k 在右半边，问题变为 invertAndReverse(s[i - 1]) 的第 k - 2^(i - 1) 个字符，也是 invert(s[i - 1]) 的第 2^(i - 1) - k + 2^(i - 1) = 2^i - k 个字符。

代码

/**
 * @date 2026-03-03 14:13
 */
public class FindKthBit1545 {

    public char findKthBit(int n, int k) {
        StringBuilder[] s = new StringBuilder[n];
        Arrays.setAll(s, x -> new StringBuilder());
        s[0].append('0');
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            s[i].append(s[i - 1]).append('1').append(invertAndReverse(s[i - 1]));
        }
        return s[n - 1].charAt(k - 1);
    }

    public StringBuilder invertAndReverse(StringBuilder origin) {
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < origin.length(); i++) {
            if (origin.charAt(i) == '0') {
                res.append('1');
            } else {
                res.append('0');
            }
        }
        return res.reverse();
    }

}

性能