日期: 2024 年 7 月 11 日

2972.统计移除递增子数组的数目II

目标

给你一个下标从 0 开始的 正 整数数组 nums 。

如果 nums 的一个子数组满足：移除这个子数组后剩余元素 严格递增 ，那么我们称这个子数组为 移除递增 子数组。比方说，[5, 3, 4, 6, 7] 中的 [3, 4] 是一个移除递增子数组，因为移除该子数组后，[5, 3, 4, 6, 7] 变为 [5, 6, 7] ，是严格递增的。

请你返回 nums 中 移除递增 子数组的总数目。

注意，剩余元素为空的数组也视为是递增的。

子数组 指的是一个数组中一段连续的元素序列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4]
输出：10
解释：10 个移除递增子数组分别为：[1], [2], [3], [4], [1,2], [2,3], [3,4], [1,2,3], [2,3,4] 和 [1,2,3,4]。移除任意一个子数组后，剩余元素都是递增的。注意，空数组不是移除递增子数组。

示例 2：

输入：nums = [6,5,7,8]
输出：7
解释：7 个移除递增子数组分别为：[5], [6], [5,7], [6,5], [5,7,8], [6,5,7] 和 [6,5,7,8] 。
nums 中只有这 7 个移除递增子数组。

示例 3：

输入：nums = [8,7,6,6]
输出：3
解释：3 个移除递增子数组分别为：[8,7,6], [7,6,6] 和 [8,7,6,6] 。注意 [8,7] 不是移除递增子数组因为移除 [8,7] 后 nums 变为 [6,6] ，它不是严格递增的。

说明：

  • 1 <= nums.length <= 10^5
  • 1 <= nums[i] <= 10^9

思路

有一个正整数数组，如果移除某些子数组可以使得剩余元素严格递增，则称为移除递增子数组。求移除递增子数组的个数。

显然移除递增子数组 [i, j] 后，前后的子数组严格递增，且 nums[i - 1] < nums[j + 1]。我们的目标是要找到有多少种 i, j 的组合满足条件，假设 i ≤ j。

今天又重新思考了一下，可以先求出数组最长的严格递增前缀的最后一个元素之后的下标 first，以及最长的 严格递增后缀第一个元素下标 end。这里下标的含义直接影响着后续的处理，比如这里没有定义end为后缀第一个元素的前一个元素，那么后面遍历的时候j的初值就要取end - 1，因为判断 j == n - 1 时的处理逻辑是排除了所有后缀直接加1，而如果j初值取end，表示nums[j]是被留下来的，就不能简单的加1了，还需要与前面前缀的最后一个元素比较。

  • 如果 first 不在数组下标范围内，说明数组整体严格递增，这时所有子数组都满足条件，n 个元素数组的子数组个数为 n * (n + 1) / 2。
  • 否则，循环遍历 i ∈[0, first]，令j = end - 1，用 nums[i - 1] 依次与后缀 [end, n) 范围内的元素比较，如果 nums[i - 1] < nums[j + 1] 则直接增加 n - 1 - (j + 1) + 1 + 1 = n - j 个，其中包括[j + 1, n - 1]、……、[n - 1, n - 1] 以及 [0, i)，这里省略了与不同前缀的组合（下同）。特别注意：
    • 当 i == 0 时会越界，需要特殊处理。这里剩余的子数组包括：ϕ、[end, n - 1]、[end + 1, n - 1]、……、[n - 1, n - 1]，从 end 到 n - 1 有 n - 1 - end + 1 = n - end 个，再加上ϕ 即 n - end + 1。不能使用公式计算后缀子数组的个数！因为前面存在非严格递增的子数组需要排除掉，而剩余数组是移除递增子数组得到的，前面移除了，后面就必须全部保留，比如 [1, 2, 3] 的子数组 [1] [1,2] [1,2,3] [2] [2,3] [3]，我们只能得到 [1,2,3] [2,3] [3] 再加一个ϕ。
    • 当 j = n - 1 时会越界，这时表明已经排除了所有后缀，所以直接加1即可，表示前缀子数组 [0, i)。

代码

/**
 * @date 2024-07-11 13:12
 */
public class IncremovableSubarrayCount2972 {

    public long incremovableSubarrayCount(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        long res = 0;
        int first = -1;
        int end = -1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (nums[i] <= nums[i - 1]) {
                first = i;
                break;
            }
        }
        if (first == -1) {
            return n * (n + 1) / 2;
        } else {
            for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
                if (nums[i + 1] <= nums[i]) {
                    end = i + 1;
                    break;
                }
            }
        }

        for (int i = 0; i <= first; i++) {
            if (i == 0) {
                res += n - end + 1;
                continue;
            }
            for (int j = end - 1; j < n; j++) {
                if (j == n - 1) {
                    res += 1;
                } else if (nums[i - 1] < nums[j + 1]) {
                    res += n - j;
                    break;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

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